Question

已知函数是偶函数.

（1）求的值；

（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）由；（2）由已知可得方程只有一个解 只有一个解，又 ，设，则有关于的方程，然后对、和分类讨论得：实数的取值范围是或.

试题解析：（1）∵函数是偶函数，

∴恒成立，

∴，则.

（2），函数与的图象有且只有一个公共点，即方程只有一个解，由已知得，

∴方程等价于，

设，则有关于的方程，

若，即，则需关于的方程只有一个大于的正数解，

设，∵，，

∴恰好有一个大于的正解，

∴满足题意；

若，即时，解得，不满足题意；

若，即时，由，得或，

当时，则需关于的方程只有一个小于的整数解，

解得满足题意；当时，不满足题意，

综上所述，实数的取值范围是或.

考点：1、函数的奇偶性；2、函数与方程.

【方法点晴】本题考查函数的奇偶、函数与方程，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 第一小题由

.第二小题由已知可得方程只有一个解

只有一个解，又，设，则有关于的方程，然后对、和，分类讨论得：实数的取值范围是或.