Question

已知函数，，其中且，.

（1）若，且时，的最小值是，求实数的值；

（2）若，且时，有恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由，易证在上单调递减，在上单调递增，且，当时，（舍去）；当时，；（2）由恒成立恒成立恒成立

.令.

试题解析： （1）∵，

∴，………………2分

易证在上单调递减，在上单调递增，且，

∴，，………………3分

∴当时，，由，解得（舍去）………………4分

当时，，由，解得，………………5分

综上知实数的值是.…… …………6分

（2）∵恒成立，即恒成立，

∴.……………………………………7分

又∵，，∴.………………8分

∴恒成立，……………………9分

∴.……………………10分

令，

∴.……………………11分

故实数的取值范围为.………………12分

考点：1、函数的最值；2、函数与不等式.

【方法点晴】本题考查函数的最值、函数与不等式，涉及分类讨论思想、函数与不等式思想、换元思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 第一小题由利用函数与不等式思想将问题转化函数的最值问题，再利用分类讨论思想进行求解；第二小题利用不等式思想和转化化归思想将问题转化为=,再利用换元思想进行求解.