Question

已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由已知可得在点处的切线斜率为切线方程为；（2）令即有，即在上有实数解.令，再利用导数工具求得的取值范围是.

试题解析： （1）的导数为，

即有曲线在点处的切线斜率为，

则曲线在点处的切线方程为，

即为.

（2）令，

即有，即在上有实数解.

令，，

当时，，递减，

当时，，递增，

即有取得极小值，也为最小值，且为，

即有，

则的取值范围是.

考点：1、函数的切线方程；2、函数与方程；3、函数的最值.

【方法点晴】本题考查函数的切线方程、函数与方程、函数的最值，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.