Question

设函数.

（1）求的单调区间和极值；

（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点.

Answer

（1）递减区间是，递增区间是，极小值；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）令，再列表可得：递减区间是，递增区间是，极小值；（2）由（1）知， ．由存在零点，当时，在区间上单调递减，且是在区间上的唯一零点；当时，在区间上单调递减，且在区间上仅有一个零点，综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点．

试题解析：（1）由得，

由解得与在区间上的情况如下：

-

+

所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；

在处取得极小值．

（2）由（1）知，在区间上的最小值为．

因为存在零点，所以，从而，

当时，在区间上单调递减，且，

所以是在区间上的唯一零点．

当时，在区间上单调递减，且．

所以在区间上仅有一个零点，

综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点．

考点：1、函数的单调区间；2、函数的极值；3、函数的零点.

【方法点晴】本题考查导数的几何意义、函数的零点、函数的极值，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.