Question

如图所示几何体中，四边形和四边形是全等的等腰梯形，且平面⊥平面，，为线段的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角（钝角）的余弦值.

Answer

(I)证明见解析；(II).

【解析】

试题分析：(I)借助题设条件运用线面垂直的性质定理推证；(II)依据题设构建空间直角坐标系运用向量的数量积公式探求.

试题解析：

（Ⅰ）连接，∵为中点，，

∴，∴四边形为平行四边形，

∴，

∵,∴，

又∵，∴为等边三角形，

∴，∴，

∴四边形是菱形，∴，

∴,

又∵平面平面，且平面平面，

∴平面，

又∵平面，

∴.

（Ⅱ）连结，∵梯形和梯形全等，，

同理得，又由（Ⅰ）得平面，∴，

∴以为坐标原点，以所在直线分别作为轴，轴，轴建立如图所示坐标系，设，则，

可得，

则

设平面的法向量为，则得

令，则，故取平面的一个法向量，.

同理可求平面的一个法向量为，

所以，

又因为二面角为钝角，故其余弦值为.

考点：线面垂直的性质定理及向量的数量积公式等有关知识的综合运用．