Question

已知，曲线在处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）求在上的最大值；

（3）证明：当时，.

Answer

（1）；（2）；（3）见解析．

【解析】

试题分析：（1）首先求出导函数，然后利用导数的几何意义求解即可；（2）根据（1）中所求得的导函数求得函数的单调区间，由此可求得最大值；（3）首先将问题转化为，然后令，从而通过求导研究函数的单调性，并求得其最小值，然后结合（2）可使问题得证．

试题解析：（1），由题设得，，解得.

（2）由（1）知，∴，，

∴在上单调递减，在上单调递增，所以，

所以在上单调递增，所以.

（3）因为，又由（2）知，过点，且在处的切线方程为，

故可猜测：当时，的图象恒在切线的上方.

下证：当时，

设，则，

由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，

又，∴，

所以，存在，使得，

所以，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

又，∴，当且仅当时取等号，

故.

由（2）知，，即，

所以，即成立，当时，等号成立.

考点：1、导数的几何意义；2、函数最值与导数的关系；3、不等式恒成立问题．

【方法点睛】求函数在某闭区间上的最值，首先需求函数在开区间内的极值，然后，将的各个极值与在闭区间上的端点的函数值、比较，才能得出函数在上的最值．