Question

如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点

（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；

（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；

（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）或；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据直线与轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.

试题解析：圆的标准方程为，所以圆心，半径为5.

（1）由圆心在直线上，可设，

因为与轴相切，与圆外切，所以，

于是圆的半径为，从而，解得，

因此，圆的标准方程为.

（2）因为直线，所以直线的斜率为.

设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离

因为 而

所以，解得或.

故直线的方程为或.

（3）设.

因为，所以……①

因为点在圆上，所以，将①代入②，得.

于是点既在圆上，又在圆上，从而圆与圆有公共点，所以，解得.因此，实数的取值范围是.

考点：1、直线与圆的位置关系；2、平面向量的运算

【知识点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理、切线长定理、垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路. 对于多元问题，也可先确定主元．