Question

已知，，动点满足，其中分别表示直线的斜率，为常数，当时，点的轨迹为；当时，点的轨迹为．

（1）求的方程；

（2）过点的直线与曲线顺次交于四点，且，，是否存在这样的直线，使得成等差数列？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）不存在这样的直线满足题意，理由见解析．

【解析】

试题分析：（1）利用直接法求动点的轨迹；（2）利用直接法求出的方程为，假设存在直线满足题意，将等差数列转化为，结合弦长公式可得，，令可得方程无解，即不存在．

试题解析：（1）设，即，化简得，此即为的方程；

（2）如（1）易得，假设存在这样的直线，则由题可知

，由得，故

，易得，故，令

，则可得，令，则

，故，因此无解，所以不存在这样的直线满足题意．

考点：曲线的轨迹方程；直线与圆锥曲线相交．