Question

已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，若存在，使不等式成立，求的最小值.

Answer

（1）详见解析；（2）的最小值为2．

【解析】

试题分析：（1）先化简函数，再求，因为，，所以分和两种情况讨论函数的单调性；（2）首先可参变分离恒成立，令，转化为求函数的最小值.

试题解析：（1）∵，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

∴当，即时，对恒成立，

此时，的单调递增区间为，无单调递减区间．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

当即时，

由，得；由，得．

此时，的单调递减区间为，单调递增区间为………3分

综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．．．．．．．．．．4分

（2）由，得，

当时，上式等价于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分

令．

据题意，存在，使成立，则只需．．．．．．．．．．．．．．．．6分

∵．．．．．．．．．．．7分

又令，显然在上单调递增．

而，

∴存在，使，即………………9分

又当时，单调递减；

当时，单调递增．

∴当时，有极小值（也是最小值）.

∴

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

∵，即，∴，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11分

又∵，且，∴的最小值为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

考点：1.导数与函数的单调性；2.导数与不等式.