Question

如图１，在正方形中，点分别是的中点，与交于点为中点，点在线段上，且.现将分别沿折起，使点重合于点（该点记为），如图2所示.

（1）若，求证：平面；

（2）是否存在正实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

(1)详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）因为点重合于点（该点记为），由原图可知，三条直线两两垂直，那么平面,又根据图中给的比例关系，可知,根据平行关系可知,平行线与同一平面垂直，即证明；（2）先以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，,用表示点的坐标，根据线面角的向量方法表示，求.

试题解析：（1）由题意，可知三条直线两两垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

∴平面．．．．．．．．．．．．．．．3分

在图1中，∵分别是的中点，∴，∴．

又∵在的中点，∴．

在图2中，∵，且，

∴在中，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

∴平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由题意，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则．∴．．．．．．．．．7分

∵，∴，∴ .

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

又∵，

设平面的一个法向量为．

由．取，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

∵直线与平面所成角的正弦值为，

∴．．．．．．．．．11分

∴，解得或（不合题意，舍去）

故存在正实数，使得直线与平面所成有的正弦值为．．．．．．．．．．12分

考点：1.线面垂直；2.空间向量法求线面角.

【方法点睛】重点介绍空间向量如何解决角的有关问题，1.求异面直线的夹角，若两条异面直线的方向向量分别为，两条直线的夹角为，则，2.求直线与平面所成的角，若直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，则，3.二面角，设二面角的两个半平面的法向量分别为，其二面角为，其中，其中或.