Question

某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为等；分数在内，记为等；分数在内，记为等；60分以下，记为等.同时认定为合格， 为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为的所有数据茎叶图如图2所示.

（Ⅰ）求图1中的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；

（Ⅱ）在选取的样本中，从甲，乙两校等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望．

Answer

(1)；甲、乙两校的合格率均为96%;（2）详见解析.

【解析】试题分析：（1）频率分布直方图中，小矩形的和为频率和，和为1，这样可得到的值；合格率为大于等于60分的频率和;（2）为级，甲校C级的频率为，人数为，而乙校C级的人数为4人，随机抽取3人中，甲校学生人数的可能取值为0，1，2，3，所对应的概率，列分布列并求数学期望.

试题解析：（1）由题意，可知，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∴甲学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

而乙学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

∴甲、乙两校的合格率均为96%．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）样本中甲校等级的学生人数为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

而乙校等级的学生人数为4．

∴随机抽取3人中，甲校学生人数的可能取值为0，1，2，3．．．．．．．．．．．7分

∴，

∴的分布列为

0

1

2

3

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

数学期望．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

考点：1.频率分布直方图和茎叶图；2.离散型随机变量的分布列和期望.