Question

已知函数，在处取得极值．

（1）求的值；

（2）若对任意的，都有成立，（其中是函数的导函数），求实数的最小值．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）先求再由可得结果；（2）恒成立等价于在上恒成立，利用导数研究其单调性，令即可求得的取值范围为，即得数实的最小值为．

试题解析：（1）由题设可得，在处取得极值，，即

即，解得，经检验知，满足题设条件．

（2）由（1）得在上恒成立，即在上恒成立，设，则，，设，①当，即时，在上单调递增，，即当时，满足题设条件．②当,即时，设是方程的两个实根，且，由可知，由题设可知，当且仅当，即，即，即时，对任意的有，即在上恒成立，在上单调递增，时，也满足条件，综上，的取值范围为，所以数实的最小值为．

考点：1、利用导数研究函数单调性及求函数的最值；2、利用导数研究函数的极值及不等式恒成立问题．

【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值、利用导数研究函数的极值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数．本题是利用方法④结合方法③ 求得数实的最小值的．