Question

如图几何体是四棱锥，为正三角形，，且．

（1）求证: 平面平面；

（2）是棱的中点，求证:平面；

（3）求四棱锥的体积．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；(3)．

【解析】

试题分析：（1）先证面再由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）先证，再由由线线平行得到线面平行可得平面；(3)先根据勾股定理证明，再根据等腰三角形性质得，从而平面，进而根据棱锥的体积公式可得结果．

试题解析：（1）证明: 为正三角形，故连接交于点，则,又， 故面平面平面 ．

（2）证明: 取的中点，连接，则，且平面平面；而，且平面平面．综上所述，平面平面平面 ．

（3）由（1）知，且，则是直角三角形，且，在中作于，可求得也即与重合，故；

且，又是的中点，故，从而平面．又．

考点：1、面面垂直的判定定理；2、线面平行的判定定理；3、三角形面积公式及棱锥的体积公式．