Question

已知椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点重合，点在 上

（Ⅰ）求 的方程；

（Ⅱ）直线不过原点O且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为，证明：的斜率与直线的斜率的乘积为定值.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求得抛物线的焦点，可得c=2，再由点满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k，b≠0），A，B，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，可得直线OM的斜率，进而得到证明

试题解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为（2，0），由题意可得c=2，即，

又点在上，可得解得

即有椭圆C：…………………………5分

（Ⅱ）证明：设直线的方程为（≠0），，，…………6分

将直线代入椭圆方程，可得

,…………………………8分

即有AB的中点M的横坐标为，纵坐标为…………10分

直线OM的斜率为即有

故OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.…………………………12分

考点：椭圆方程及椭圆与直线相交的综合问题