Question

抛物线的顶点为坐标原点O，焦点F在轴正半轴上，准线与圆相切.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）已知直线和抛物线交于点，命题：“若直线过定点（0，1），则 ”，

请判断命题的真假，并证明.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）命题P为真命题

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设抛物线C的方程为：x2=2py，p＞0，由已知条件得圆心（0，0）到直线l的距离，由此能求出抛物线线C的方程；（Ⅱ）设直线m：y=kx+1，交点A ，B 联立抛物线C的方程，得x2-4kx-4=0，△=16k2+16＞0恒成立，由此利用韦达定理能证明命题P为真命题

试题解析：（Ⅰ）依题意，可设抛物线C的方程为：，

其准线的方程为：

∵准线圆相切 ∴解得p=4

故抛物线线C的方程为：………….…5分

（Ⅱ）命题p为真命题 ……………………………………６分

直线m和抛物线C交于A，B且过定点（0，1），

故所以直线m的斜率k一定存在，………………………7分

设直线m：，交点，，联立抛物线C的方程，

得，恒成立，………8分

由韦达定理得………………………………………9分

=

∴命题P为真命题.………………………………………12分.

考点：直线与圆锥曲线的综合问题