Question

如图，在边长为2的正方形中，点，分别是，的中点，将分别沿，折起，使两点重合于.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求四棱锥的体积.

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明往往利用线面垂直判定与性质定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证往往需结合平几知识进行：连接交于，则根据等腰三角形性质得，（Ⅱ）求四棱锥的高，关键是确定高，即从线面垂直寻找高线：利用面面垂直性质定理，可得线面垂直，即作于，可得，最后利用四棱锥体积公式求体积

试题解析：（Ⅰ）证明：连接交于，连接.

在正方形中，点是中点，点是中点，

所以，

所以，

所以在等腰中，是的中点，且，

因此在等腰中，，

从而，

又，

所以平面，

即平面.……………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知平面，

易知，，，，

由于，

所以，

作于，则，

在中，由，得.

又四边形的面积，

所以，四棱锥的体积.………………………………12分

考点：空间面面垂直的判定与性质、空间面面夹角

【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.