Question

已知函数.

（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；

（2）若函数有两个零点，试判断的符号，并证明.

Answer

（1） ；（2） 当时，；当时，.

【解析】

试题分析：（1）求函数的导数，由可求的值；（2）由（1）可知，且定义域为，先讨论当时的零点是否符合题意，当时，由，两式作差并整理得，则，设，，，，所以有，构造函数，讨论函数的单调性与符号，可知的符号.

试题解析： （1），又∵.………………2分

所以.………………3分

（2）函数的定义域是.………………4分

若，则.

令，则.

又据题设分析知，

∴，.

又有两个零点，且都大于0，

∴，不成立.………………5分

据题设知

不妨设，，.………………6分

所以.

所以.………………7分

又，

所以

.………………9分

引入，则.

所以在上单调递减.………………10分

而，所以当时，.

易知，，

所以当时，；当时，.………………12分

考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性；3.函数与不等式.