Question

已知点是椭圆上任一点，点到直线的距离为，到点的距离为，且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方），且.

（1）求椭圆的方程；

（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；

（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1） ；（2） ；（3） 直线总经过定点.

【解析】

试题分析：（1） 设,用坐标表示条件列出方程化简整理可得椭圆的标准方程；（2）由（1）可知，，即可得，由得，写出直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，由两点式求直线的方程即可；（3）由，得，设直线方程为，与椭圆方程联立得，由根与系数关系计算得，从而得到直线方程为，从而得到直线过定点.

试题解析： （1）设，则，，………………1分

∴，化简，得，∴椭圆的方程为.………………3分

（2），，∴，………………4分

又∵，∴，.

代入解，得（舍）∴，………………6分

，∴.即直线方程为.………………7分

（3）∵，∴.

设，，直线方程为.代直线方程入，得

.………………9分

∴，，∴=

，

∴，……………11分

∴直线方程为，

∴直线总经过定点.………………12分

考点：1.椭圆的几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.

【名师点睛】本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，属难题；直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型.解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确.