Question

如图，在三棱柱中，为的重心，.

（1）求证：平面；

（2）若侧面底面，，，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1） 连接，并延长，交于点，过作，交于点，分别连接,只要证明所以平面平面，由面面平行的性质可证平面；（2）由题意先证明侧面底面，由面面垂直的性质可证平面，所以可以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，由空间向量夹角公式求之即可.

试题解析： （1）证明：连接，并延长，交于点，过作，交于点，分别连接.

因为是的重心，所以.………………1分

又，所以.

又据三棱柱性质知，

所以.………………2分

又因为平面，平面，

所以平面.

又因为，平面，

所以平面平面.………………3分

又因为平面，

所以平面.………………4分

（2）连接.

因为，，，

所以，

所以，所以.

因为侧面底面，侧面底面，平面，

所以平面.

因为，，所以是等边三角形，

所以.………………6分

以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，，，

所以.………………8分

设平面的一个法向量为，则

所以

令得，………………10分

所以.

所以.即直线与平面所成角的正弦值为.……………12分

考点：1.空间面面、线面平行的判定与性质；2.空间线面、面面垂直的判定与性质；3.空间向量的应用.