Question

对于函数，若存在，使成立，则称为的

不动点.已知函数.

（1）当时，求函数的不动点；

（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若f（x）的两个不动点为，且，求实数的取值范围.

Answer

（1）－1（2）0＜a＜1（3）

【解析】

试题分析：（1）写出函数f（x）=x2+3x+1，利用不动点定义，列出方程求解即可；（2）f（x）恒有两个不动点，得到ax2+（b+1）x+（b-1）=x，通过b2-4a（b-1）＞0恒成立，利用判别式得到不等式求解即可；（3）利用定义推出，通过换元令t=a2∈（0，1），任何求解b的范围

试题解析：（1），因为x0为不动点，因此所以x0=－1，

所以－1为f（x）的不动点. ……………… 4分

（2）因为f（x）恒有两个不动点，f（x）=ax2+（b+1）x+（b－1）=x，

ax2+bx+（b－1）=0（※），

由题设b2－4a（b－1）＞0恒成立，

即对于任意b∈R，b2－4ab+4a＞0恒成立，

所以（4a）2－4（4a）＜0a2－a＜0，所以0＜a＜1. ………………8分

(3)因为，所以，

令，则. ……………… 12分

考点：函数恒成立，不动点的定义的应用，考查转化思想以及换元法的应用