Question

已知函数.

（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；

（2）用定义证明函数在区间上为增函数；

（3）若函数在区间上的最大值与最小值之和不小于，求的取值范围.

Answer

（1）奇函数（2）详见解析（3）[4,+∞)

【解析】

试题分析：（1）判断出函数是奇函数再证明，确定函数定义域且关于原点对称，利用奇函数的定义可判断；

（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明按照取值、作差、变形定号、下结论步骤即可；（3）根据（2）的结论得函数在区间[2，a]上的单调性，再求出最大值、最小值，根据条件列出不等式求出a得范围

试题解析：（1）函数是奇函数， 1分

∵函数的定义域为，在轴上关于原点对称， 2分

且，

∴函数是奇函数. 3分

（2）证明：设任意实数，且， 4分

则， 5分

∵ ∴，

∴<0 ，

∴<0,即，

∴函数在区间上为增函数. 8分

（3）∵，

∴函数在区间上也为增函数. 9分

∴， 10分

若函数在区间上的最大值与最小值之和不小于，

则， ∴，

∴的取值范围是[4,+∞). 12分

考点：函数奇偶性的性质；利用导数研究函数的单调性