Question

已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点为．

（1）当切线的长度为时，求点的坐标；

（2）若的外接圆为圆，试问：当在直线上运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）求线段长度的最小值．

Answer

（1）或（2）圆过定点（3）

【解析】

试题分析：（1）根据圆M的标准方程即可求出半径r=2和圆心M坐标（0，4），并可设P（2b，b），从而由条件便可求出|MP|=＝4，这样便可求出b的值，即得出点P的坐标；（2）容易求出圆N的圆心坐标（b，），及半径，从而可得出圆N的标准方程，化简后可得到（2x+y-4）b-（x2+y2-4y）=0，从而可建立关于x，y的方程，解出x，y，便可得出圆N所过的定点坐标；（3）可写出圆N和圆M的一般方程，联立这两个一般方程即可求出相交弦AB的直线方程，进而求出圆心M到直线AB的距离，从而求出弦长，显然可看出时，AB取最小值，并求出该最小值

试题解析：（1）由题意知，圆的半径，设，

∵是圆的一条切线，∴，

∴，解得，

∴或． ………………………4分

(2)设，∵，

∴经过三点的圆以为直径，

其方程为， ………………………6分

即，

由， ………………………8分

解得或，

∴圆过定点， ………………………10分

（3）因为圆方程为，

即，

圆，即，

②-①得：圆方程与圆相交弦所在直线方程为：

， ………………………12分

点到直线的距离，

，…………14分

当时，有最小值． ………………………16分

考点：直线与圆的位置关系