Question

已知函数f (x)＝lg(ax²＋2x＋1) ．

(1)若函数f (x)的定义域为R，求实数a的取值范围；

(2)若函数f (x)的值域为R，求实数a的取值范围．

Answer

(1) (1，＋∞) (2) [0，1]

【解析】

试题分析：(1)定义域为R转化为不等式ax2＋2x＋1＞0对x∈R恒成立，结合二次函数性质可求解a的取值范围；(2)由值域是全体实数可知对数的真数可以取到所有的正数，进而转化为一次函数二次函数求解a的取值范围

试题解析：(1)欲使函数f(x)的定义域为R，只须ax2＋2x＋1＞0对x∈R恒成立，所以有，解得a＞1，即得a 的取值范围是(1，＋∞)；

(2)欲使函数 f (x)的值域为R，即要ax2＋2x＋1 能够取到(0，＋∞) 的所有值．

①当a＝0时，a x 2＋2x＋1＝2x＋1，当x∈(－，＋∞)时满足要求；

②当a≠0时，应有 0＜a≤1．当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时满足要求(其中x1，x2是方程ax 2＋2x＋1＝0的二根)．

综上，a的取值范围是[0，1]．

考点：函数定义域值域及二次函数性质