Question

设函数在上是奇函数，且对任意都有，当时，，：

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）判断的单调性，并证明你的结论；

（Ⅲ）求不等式的解集.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）单调递减（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=1，即可得出；（Ⅱ）结论：函数f（x）在[-3，3]上是单调递减的，如下：任取-3≤≤3，f（）-f（）=f（）＜0，即可判断出结论；

（Ⅲ）由于f（2）=-4，不等式f（x-1）＞4等价于f（x-1）＞-f（2）=f（-2），又根据函数f（x）在[-3，3]上是单调递减，即可得出

试题解析：（Ⅰ）在中，令得

…………………3 分

（Ⅱ）结论：函数在上是单调递减的，证明如下：

任取

则==

因为，所以，则，即

故函数在上单调递减。…………………7 分

（Ⅲ）由于

所以不等式等价于

又是奇函数，所以

即

又因为函数在上单调递减，

所以，解得

故原不等式的解集为 …………………12分

考点：抽象函数的奇偶性单调性、不等式的解法