Question

已知数列的前项和为.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设为数列的前项和，其中，求；

（Ⅲ）若存在，使得≥成立，求出实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知数列的前n项和，利用求数列的通项公式；（Ⅱ）把变形，利用裂项相消法化简，代入得答案；（Ⅲ）把代入≥，分离参数λ，利用不等式求得最值得答案

试题解析：（Ⅰ）当时， ， …2分

当时，也符合上式 …3分

∴， 4分

（Ⅱ）解法一：∵，………6分

∴

.…8分

解法二：∵

，6分

∴

.………8分

（Ⅲ）∵存在，使得≥成立，

∴存在，使得成立,即有解，

，……………10分

而，当或时取等号，

的取值范围为.…………12分

考点：数列递推式；数列的求和