Question

已知函数，.

（1）当时，求在区间上的最大值；

（2）若在区间上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围.

Answer

(1)；(2).

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用导数与函数单调性的关系求解；(2)借助题设构造函数运用导数与函数单调性的关系分析探求.

试题解析：

（1）当时，，

.

当，有；当，有，

∴在区间上是增函数，在上为减函数，

所以.

（2）令，则的定义域为.

在区间上，函数的图象恒在直线下方，

等价于在区间上恒成立.

，①

①若，令，得极值点，.

当，即时，在上有，在上有，

在上有，此时在区间上是增函数，

并且在该区间上有，

不合题意；

当，即时，同理可知，在区间上，有，也不合题意；

②若，则有，此时在区间上恒有，

从而在区间上是减函数；

要使在此区间上恒成立，只须满足，

由此求得的范围是.

综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方.

考点：导数与函数单调性之间的关系等有关知识的综合运用.

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是直接借助导数与函数的单调性之间的关系求出函数的最大值而获解；第二问则依据题设构造函数,再运用导数与函数的单调性之间的关系及分类整合思想进行分析探求,从而使得问题简捷巧妙获解.