Question

设函数，，其中，．

（1）求的单调区间；

（2）若存在极值点，且，其中，求证：；

（3）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．

Answer

（1）当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，单调递增区间为，；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）求出的导数，讨论时，，在上递增；当时，由导数大

于，可得增区间；导数小于，可得减区间；（2），可得，分别计算，，化简整理即可得证；（3）要证在区间上的最大值不小于，即证在上存在，，使得，运用单调性和极值，化简整理即可得证．

试题解析：（1）【解析】
由，可得．

下面分两种情况讨论：

①当时，有恒成立，所以的单调递增区间为；

②当时，令，解得，或．

当变化时，，的变化情况如下表：

0

0

极大值

极小值

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，．

（2）证明：因为存在极值点，所以由（1）知，且，

由题意，得，即，

进而，

又

,

即为，即有，即为．

（3）要证在区间上的最大值不小于，即证在上存在，，使得，

，

，

，，，

由于，成立．

综上可得，在区间上的最大值不小于．

考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）利用导数研究函数在闭区间上的最值.

【一题多解】最后一问还可采用：设在区间上的最大值为，表示，两数的最大值；当时，，由（1）（2）知，，，所以在区间上的取值范围为，因此

．