Question

已知数列，，其前项和满足，其中．

（1）设，证明：数列是等差数列；

（2）设，为数列的前项和，求证：；

（3）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）当时，，，当时，，整理得：，可得，，是首项为，公差为的等差数列；（2）由（1）可知：，利用“错位相减法”即可求得；（3）由得，整理得：，当为奇数时，；当为偶数时，，由为非零整数，即可求得．

试题解析：（1）当时，，∴，

当时，，

∴，即，

∴（常数），

又，∴是首项为，公差为的等差数列，．

（2），

，，

相减得，

∴．

（2）由，得，

，，，

当为奇数时，，∴；

当为偶数时，，∴，∴，

又为非零整数，∴．

考点：（1）等差数列的通项公式；（2）数列求和.