Question

平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率是，抛物线：的焦点是的一个顶点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．

（i）求证：点在定直线上；

（ii）直线与轴交于点，记△的面积为，△的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标．

Answer

（1）；（2）（i）证明见解析，（ii）的最大值为，此时点的坐标为．

【解析】

试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的，，的关系，解得，，

进而得到椭圆的方程；（2）（i）设，运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点的坐标，求得的方程，再令，可得．进而得到定直线；（ii）由直线的方程为，令，可得，运用三角形的面积公式，可得，，化简整理，再，整理可得的二次方程，进而得到最大值及此时的坐标．

试题解析：（1）由题意知，可得，

因为抛物线的焦点为，所以，，

所以椭圆的方程为．

（2）（i）设（），由可得，

所以直线的斜率为，

因此直线的方程为，即，

设，，，联立方程

得，

由，得且，

因此，

将其代入，得，

因为，所以直线方程为，

联立方程得点的纵坐标为，

即点在定直线上．

（ii）由（i）知直线方程为，令，得，∴，

又，，，

所以，

，所以，

令，则，则，

当，即时，取得最大值，此时，满足，

所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为．

考点：椭圆的简单性质.