Question

已知函数（）的最大值为．

（1）若，试比较与的大小；

（2）是否存在非零实数，使得对恒成立，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）当时，，当时，；（2）存在非零实数，且的取值范围为.

【解析】

试题分析：（1）利用导数研究函数的单调性，求出其最大值，分两种情况比较大小；（2）当时， ，不合题意，当时，利用单调性可得，解得.

试题解析：（1）．

令，得，令，得，故函数在上单调递增，在上单调递减，故．

当时，，∴，∴；

当时，，∴，∴．

（2）由（1）知，∴．

设，∴，令，解得．

当时，令，得；令，得，

∴，

∴．

故当时，不满足对恒成立；

当时，同理可得，解得．

故存在非零实数，且的取值范围为．

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的最值及不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题（2）就是利用方法③求得的取值范围的.