Question

在平面直角坐标系中，点为曲线上任意一点，且到定点的距离比到轴的距离多1．

（1）求曲线的方程；

（2）点为曲线上一点，过点分别作倾斜角互补的直线，与曲线分别交于，两点，过点且与垂直的直线与曲线交于，两点，若，求点的坐标．

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）因为点到点和到直线的距离相等，所以曲线是顶点为原点，点为焦点的抛物线，可得方程为；（2）设，，，由可得 ，，直线的方程为，由可得，解得，进而得的坐标为或.

试题解析：（1）由题意可知，点到点和到直线的距离相等，故曲线是顶点为原点，点为焦点的抛物线，设曲线的方程为，则，即,故曲线的方程为．

（2）设，，，则， ，

∵直线，的倾斜角互补，∴，即，化简得，

∴，故直线的方程为，即，代入得，，∴，又，即，解得，故点的坐标为或．

考点：1、抛物线的定义及方程；2、直线的斜率及定点问题.

【方法点晴】本题主要考查抛物线的定义及方程、直线的斜率及定点问题，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题（1）就是利用方法②求曲线的方程的.