Question

如图所示，在四棱锥中，四边形为矩形，△为等腰三角形，，平面平面，且，,,分别为，的中点．

（1）证明：平面；

（2）证明：平面平面；

（3）求四棱锥的体积．

Answer

（1）（2）见解析（3）四棱锥的体积

【解析】

试题分析：（1）要证平面，由线面平行的判定定理，既要证平行于平面内的一条直线，通过分析，证明即可；（2）要证平面平面，由面面垂直的判定定理，只要证明平面即可；（3）证明四棱锥的的高为，则体积可求

试题解析：（1）如图，连接，

∵四边形为矩形且是的中点，

∴也是的中点．

又是的中点，，

∵平面，平面，∴平面．

（2）证明：∵面平面，，平面平面，

∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（3）取的中点为，连接，

∵平面平面，△为等腰直角三角形，

∴平面，即为四棱锥的高．

∵，∴，又，

∴四棱锥的体积．

考点：线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，椎体的体积公式