Question

已知正三棱柱中，，，点为的中点，点在线段上．

（1）当时，求证：；

（2）是否存在点，使二面角等于？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）存在点，且.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用线面垂直的性质定理推证；（2）借助题设运用空间向量的数量积公式建立方程求解.

试题解析：

（1）证明：连接，

因为为正三棱柱，所以为正三角形，

又因为为的中点，所以，

又平面平面，平面平面，

所以平面，所以．

因为，，，所以，，

所以在中，，

在中，，所以，即，

又，

所以平面，平面，所以．

（2）假设存在点满足条件，设，

取的中点，连接，则平面，

所以，，

分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，

所以，，，，

设平面的一个法向量为，

则即令，得，

同理，平面的一个法向量为，

则即取，得，

所以，解得，

故存在点，当时，二面角等于．

考点：线面垂直的性质定理及空间向量的数量积公式的综合运用.