Question

已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若对于任意的，若函数在区间上有最值，求实数的取值范围.

Answer

（I）当时，的单调增区间为，减区间为，当时，的单调增区间为，无减区间；（II）.

【解析】

试题分析：（I）写出函数定义域，求出导函数，通过讨论的范围，判断的符号，求出单调区间；（II）若在区间上有最值，则在区间上总不是单调函数，由由题意知，对任意，恒成立，，因为，，又因为对任意，恒成立，解得.

试题解析：（I）由已知得的定义域为，且 ，

当时，的单调增区间为，减区间为；

当时，的单调增区间为，无减区间；

（II），

在区间上有最值，在区间上总不是单调函数，

又

由题意知：对任意，恒成立，

，因为，

对任意，恒成立

，，

综上，.

考点：利用导数研究函数的单调性、极值、最值.

【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了分类讨论的思想和转化的思想方法，属于中档题.第一问研究函数的单调性，要先求定义域，确定讨论的标准，研究导数的符号，求出单调区间，本题解答的难点是第二问，把在区间上有最值，则在区间上总不是单调函数，通过分类参数求最值，得到的范围.