Question

已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（I）；（II）

【解析】

试题分析：（I）求出时，，根据直线方程的点斜式可得切线方程；（II）当时，若不等式恒成立等价于，通过讨论的范围，得到其在上的单调性，分别求出求出最小值，得到的范围，最后取并集即得实数的取值范围.

试题解析：（I）当时，，

即曲线在处的切线的斜率为，又，

所以所求切线方程为.

（II）当时，若不等式恒成立

易知

若，则恒成立，在R上单调递增；

又，所以当时，，符合题意.

若，由，解得，则当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以时，函数取得最小值.

则当，即时，则当时，，符合题意.

当，即时，则当时，单调递增，，不符合题意.

综上，实数的取值范围是（没有综上扣一分）

考点：导数的几何意义和利用导数研究函数在给定区间上的单调性、最值.

【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义和利用导数研究函数在给定区间上的单调性、最值，考查了分类讨论和转化的数学思想，属于中档题.求切线方程，通常根据导数求出切线斜率和切点坐标，结合直线方程的点斜式求解；对于不等式在某个区间上恒成立问题，通常转化为函数的最值，通过分类讨论参数与区间的关系，研究其单调性，转化为解不等式求解.