Question

已知二次函数，满足，.

（1）求函数的解析式；

（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；

（3）若函数的两个零点分别在区间和内，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）通过，求出，利用，求出的值，得到函数的解析式；（2）求出函数的对称轴，然后求出的最大值，列出关系式即可求解实数的取值范围；（3）由，根据的两个零点分别在区间和内，利用零点存在定理列出不等式组求出即可.

试题解析：（1）由，得，

又，得，

故，解得：，，

所以.

（2），对称轴为，

又，，所以.

关于的不等式在有解，则，

所以实数的取值范围为.

（3），若的两个零点分别在区间和内，

则满足，

解得：，所以实数的取值范围为.

考点：函数的零点与方程的根的关系；抽象函数及其应用.

【方法点晴】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系、抽象函数的性质及其应用，其中解答中涉及到抽象的赋值应用、函数的零点存在定理，不等式组的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据函数的解析式，合理利用性质是解答的关键.