Question

设函数f（x）=（x﹣a）²lnx，a∈R．

（I）若x=e是y=f（x）的极值点，求实数a的值；

（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣4e²只有一个零点，求实数a的取值范围 .

Answer

（1）a=e或a=3e．（2）（－∞，3e）.

【解析】

试题解析：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣a）2 lnx，a∈R．

∴ f′（x）=2（x﹣a）lnx+=（x﹣a）（2lnx+1﹣），

由x=e是f（x）的极值点，所以f′（e）=0

解得a=e或a=3e．

经检验，a=e或a=3e符合题意，所以a=e或a=3e；

（Ⅱ）由已知得方程f（x）=4e2只有一个根，

即曲线f（x）与直线y=4e2只有一个公共点．

易知f（x）∈（﹣∞，+∞），设，

①当a≤0时，易知函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，满足题意；

②当0＜a≤1时，易知h（x）是单调递增的，又h（a）=2lna＜0，h（1）=1﹣a≥0，

∴∃x0∈（a，1），h（x0）=0，

当0＜x＜a时，f′（x）=（x﹣a）（2lnx+1﹣）>o

∴f（x）在（0，a）上是单调递增，

同理f（x）在（a，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

又极大值f（a）=0，所以曲线f（x） 满足题意；

③当a＞1时，h（1）=1﹣a＜0，h（a）=2lna＞0，

∴∃x0∈（1，a），h（x0）=0，即，得a﹣x0=2x0lnx0，

可得f（x）在（0，x0）上单调增，在（x0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增

又f（a）=0，若要函数f（x）满足题意，只需f（x0）<4e2，即（x0-a）2lnx0<4e2

∴x02ln3x01，知g（x）=x2ln3x>0,且在[1, ＋∞）上单调递增，

由g（e）=e2，得1＜x0＜e，因为a=x0+2x0lnx0在[1，+∞）上单调递增，

所以1＜a＜3e；

综上知，a∈（－∞，3e）

考点：利用导数研究极值与零点问题.