Question

如图，O为坐标原点，点F为抛物线C₁：的焦点，且抛物线C₁上点P处的切线与圆C₂：相切于点Q．

（Ⅰ）当直线PQ的方程为时，求 抛物线C₁的方程；

（Ⅱ）当正数P变化时，记S₁ ，S₂分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．

Answer

（1）x2=4y．（2）.

【解析】

试题解析：（Ⅰ）设点P（x0，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求导y′=，

因为直线PQ的斜率为1，所以=1且x0 --√2=0，解得p=2，

所以抛物线C1 的方程为x2=4y．

（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：y-=（x-x0），即2x0x-2py-x02=0，

∴ OQ的方程为y=-x

根据切线与圆切，得d=r，即，化简得x04=4x02+4p2，

由方程组，解得Q（，），

所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=

点F（0，）到切线PQ的距离是d=，

所以S1==，

S2=，

而由x04=4x02+4p2知，4p2=x04-4x02＞0，得|x0|＞2，

所以

=

=+3≥2+3，当且仅当时取“=”号，

即x02=4+2，此时，p=．

所以的最小值为2+3．

考点：求抛物线的方程，与抛物线有关的最值问题.