Question

已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.

（1）已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；

（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）增区间为；减区间为；值域为.（2）

【解析】

试题分析：（1）先将函数化为型：，其中，由性质得当，单调递减，对应减区间为；当，单调递增，对应增区间为；再根据单调性求最值，得值域（2）对任意存在型问题，一般先转化为函数值域或最值问题，本题转化为两个函数值域包含关系：的值域是值域的子集，由（1）知的值域是，值域是，由数轴知，解得

试题解析：【解析】
（1），

设，，，则，

由已知性质得，当，即时，单调递减，所以减区间为；当，即时，单调递增，所以增区间为；

由，，，得的值域为.

（2）为减函数，故，，

由题意的值域是值域的子集，

∴，

∴.

考点：利用函数单调性求值域，任意存在性问题

【方法点睛】任意存在性问题解决方法

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．