Question

已知数列的前项和是,.

（I）求数列的通项公式；

（II）若数列满足，求数列的前项和；

（III）若数列满足（为非零常数），确定的取值范围,使时，都有.

Answer

（I）；（II）；（III）且．

【解析】

试题分析：（I）由当=1时，得到，当时，，即可求解数列的通项公式；（II）由（I）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和；（III）由（I）得，根据，整理得，即分为奇数和偶数，分类讨论，即可确定实数的取值范围．

试题解析：（I）当=1时，，

当时，，

是首项为1，公比为2的等比数列

（II）

①

②

①-②得

（III） ∵

∴即

即

即

即

∴ 即

当为偶数时 ∴

当为奇数时 ∴

即 又∵∴ 且

考点：数列求和；数列与不等式的综合问题．

【方法点晴】本题主要考查了数列的求和及数列与不等式的综合问题，其中解答中涉及到数列的通项和的关系，乘公比错位相减法求和及基本不等式的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中把不等式的恒成立问题，利用分离参数法是解答的一个难点，此类问题平时注意总结和积累．