Question

已知是定义在上的偶函数，且时，.

（1）求；

（2）求函数的解析式；

（3）若，求实数的取值范围.

Answer

（1），；（2）；（3）或.

【解析】

试题分析：（1）因为当时，，所以.函数是定义在上的偶函数，；（2）令，则，求出函数在时，，所以；（3）注意到，为增函数，故当时，函数为减函数，由，，得.所以，解得或.

试题解析：

（1）因为当时，，所以.

又函数是定义在上的偶函数，

所以，即.

（2）令，则，

从而，

∴时，.

∴函数的解析式为.

（3）设是任意两个值，且，

则，∴.

∵，

∴，

∴在上为增函数.

又是定义在上的偶函数，

∴在上为减函数，

由，，

得.

∴，或.

考点：函数的奇偶性、单调性，不等式.

【方法点晴】本题考查分段函数求值、分段函数求解析式、分段函数求解不等式等知识.第一问考查分段函数求证，只需要根据定义域和奇偶性，就可以求出来.第二问是完整的求出函数的解析式，就要先令，然后将代入已知的表达始终，然后利用来求得解析式.在第二问的基础上，第三问根据单调性就可以求解出来.