Question

已知函数 ，

（1）若曲线在点处的切线为，求的值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；

（2）当的单调增区间为，

当时，∴的单调增区间为，，的单调减区间为

当时，∴的单调增区间为，，的单调减区间为．

（3）

【解析】

试题分析：（1）的定义域为，，求出，，可得到的值，可得的值；（2），分，，三种情况讨论的单调性；（3）若至少存在一个，使得，∴，

当时，，∴有解，令，讨论函数的性质，可得到

实数的取值范围．

试题解析：（1）的定义域为，，

∴，

解得，∴．

（2），

当时，，∴的单调增区间为

当时，由，

∴的单调增区间为，

由，∴的单调减区间为．

当时，由，∴的单调减区间为，

由，∴的单调减区间为．

综上所述：当时， ，∴的单调增区间为，

当时，∴的单调增区间为，，的单调减区间为

当时，∴的单调增区间为，，的单调减区间为．

（3）若至少存在一个，使得，∴，

当时，，∴有解，令，

∴

，∴在上单调递减，

∴得，．

考点：利用导数研究函数的性质