Question

在直三棱柱中，底面是直角三角形，，为侧棱的中点.

（1）求异面直线、所成角的余弦值；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer

(1);(2).

【解析】

试题分析：建立空间直角坐标系，由题意写出相关点的坐标；（1）求出直线所在的方向向量，直接计算即可；（2）求出平面与平面的法向量，计算即可.

试题解析： （1）如图所示，以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系C-xyz

则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，D(2，0，1).

所以，，

所以.即异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为.

（2）因为，，，所以，，所以为平面ACC1A1的一个法向量。

因为，，设平面B1DC1的一个法向量为n，n(x,y,z).

由得令x＝1，则y＝2，z＝－2，n＝(1,2,－2).

所以所以二面角B1―DC―C1的余弦值为

考点：空间向量的应用.

【名师点睛】本题考查空间向量的应用，属中档题；在空间求线线角、线面角、二面角，是通过建立恰当的空间直角坐标系,正确写出各点的坐标，则通直线所在的方向向量、平面的法向量，通过向量的夹角间接求解，准确运算是解决这类问题的关键.