Question

已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若有两个不相等的实数根，求证：.

Answer

（1）函数在（0,1）上单调递增，在单调递减,（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）先求函数导数，再在定义区间上求零点，列表分析导函数符号，可得对应单调区间（2）因为，所以原不等式等价于不等式：，再构造一元函数：令（），即证（），最后利用导数分别研究函数，及单调性，得出结论

试题解析：（I）依题意，所以

因为函数的定义域为

由得，由得，

即函数在（0,1）上单调递增，在单调递减,

（II）若有两个不相等的实数根,等价于直线与的图像有两个不同的交点（）

依题意得，证，即证

因，即证

令（），即证（）

令（）则

∴在（1，+）上单调递增，

∴=0，即（）①

同理可证：②

综①②得（），即．

考点：利用导数求函数单调区间，利用导数证明不等式

【思路点睛】导数与函数的单调性

（1）函数单调性的判定方法：设函数y＝f（x）在某个区间内可导，如果f′（x）＞0，则

y＝f（x）在该区间为增函数；如果f′（x）＜0，则y＝f（x）在该区间为减函数.

（2）函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.