Question

如图，四棱锥中，，，△与△都是等边三角形．

（1）证明：平面；

（2）求四棱锥的体积．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）要证明线面垂直，就是要证线线垂直，要证与平面中两条相交直线垂直，由平面几何知识易得，另一条垂线不易找到，考虑到，因此在平面上的射影是的外心，从而是中点，那么可得，第二个垂直也得到了，从而证得结论；

（2）棱锥的体积公式是，由（1）可知就是四棱锥的高，求出底面梯形面积，高，可得体积．

试题解析：（1）证明：过作平面于，连．

依题意，则．

又△为，故为的中点．

∵面，∴面面．

在梯形中，，

∴．

∵面面，

∴平面．

（2）由（1）知为四棱锥的高．

∵，，

∴．

又，，∴．

∴．

考点：线面垂直的判断，棱锥的体积．