Question

已知，是数列的前n项和，且满足：， n=2，3，4，……，设数列满足：，．

（1）证明数列是等差数列，并求出数列的公差；

（2）确定的取值集合M，使∈M时，数列是单调递增数列．

Answer

（1）证明见解析，；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先证明进而得两式相减得，又得，再相减即可；（2）数列是单调递增数列且恒成立，进而得 即解得.

试题解析：（1）当时，由已知得．

因为，所以 ①．于是 ②． 由②－①得 ③于是 ④．由④－③得 ⑤，

所以，即数列是等差数列，公差是6．

（2）由题意知，所以，而，，

所以，．

数列和分别是以为首项，6为公差的等差数列，所以，，（ k∈N*）．

因此，数列是单调递增数列且对任意的k∈N*成立

且

．

所以，的取值集合是．

考点：1、等差数列的证明、公式的应用；2、数列的单调性及不等式恒成立问题.

【方法点睛】本题主要考查等差数列的证明、公式及数列的单调性及不等式恒成立问题，属于难题. 公式的应用主要有两方面：一是证明过程中与互换；二是已知求，一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.