Question

如图，三棱柱中，平面，分别为的中点，点在棱上，且.

（1）求证：平面；

（2）在棱上是否存在一个点，使得平面将三棱柱分割成的两部分体积之比为，若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）不存在.

【解析】

试题分析：（1）设的中点为，，为的中点，由三角形中位线定理得，再证为平行四边形，得由线面平行的判定定理可得结论；（2）可先假设上存在一个点，使得平面将三棱柱分割成的两部分体积之比为，再利用体积公式求出与的比值，看是否小于即可.

试题解析：（1）证明：取的中点M，为的中点，又为的中点， 在三棱柱中，分别为的中点，

,为平行四边形，

平面，平面

平面

（2）设上存在一点，使得平面将三棱柱分割成两部分的体积之比为，则

，，

所以符合要求的点不存在

考点：1、线面平行的判定定理；2、棱锥的体积公式.