Question

如图，在四棱锥中，底面，， ，是的中点．

（1）证明；

（2）证明平面；

（3）求二面角的正弦值的大小．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）证明线线垂直，往往通过线面垂直转化求证．在四棱锥中，因底面，平面，故 ，平面而平面，；（2）证明线面垂直，通常利用线面垂直判定定理进行论证．由，，可得 是的中点，由（1）知，，且，所以平面而平面， 底面在底面内的射影是，，又，综上得平面；（3）求二面角，首先要作出二面角的平面角，这通常利用线面垂直与线线垂直的转化得到．过点作，垂足为，连结，则（2）知，平面，在平面内的射影是，则因此是二面角的平面角然后在三角形中求出对应角的三角函数值．在中，．

试题解析：（1）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故 ，平面

而平面，

（2）证明：由，，可得

是的中点，

由（1）知，，且，所以平面

而平面，

底面在底面内的射影是，，

又，综上得平面

（3）解法一：过点作，垂足为，连结 则（2）知，平面，在平面内的射影是，则

因此是二面角的平面角

由已知，得 设，

可得

在中，，，

则

在中，

解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为过点作，垂足为，故平面 过点作，垂足为，连结，故 因此是二面角的平面角

由已知，可得，设，

可得

，

于是，

在中，

考点：线面垂直判定与性质定理，二面角的平面角．