Question

已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．

（1）求f（0）的值．

（2）求f（x）的解析式．

（3）已知a∈R，设P：当时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：当x∈[﹣2，2]时， g（x）=f（x）﹣ax是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩∁_RB（R为全集）．

Answer

（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）对抽象函数满足的函数值关系的理解和把握是解决该问题的关键，对自变量适当的赋值可以解决该问题，结合已知条件可以赋求出；（2）在（1）基础上赋值可以实现求解的解析式的问题；（3）利用（2）中求得的函数的解析式，结合恒成立问题的求解策略，即转化为相应的二次函数最值问题求出集合，利用二次函数的单调性求解策略求出集合．

试题解析：（1）令x=﹣1，y=1，则由已知f（0）﹣f（1）=﹣1（﹣1+2+1）

∴f（0）=﹣2

（2）令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）

又∵f（0）=﹣2，∴f（x）=x2+x﹣2

（3）不等式f（x）+3＜2x+a即x2+x﹣2+3＜2x+a

也就是x2﹣x+1＜a．由于当时，，

又x2﹣x+1=恒成立，

故A={a|a≥1}，g（x）=x2+x﹣2﹣ax=x2+（1﹣a）x﹣2 对称轴x=，

又g（x）在[﹣2，2]上是单调函数，故有，或，

∴B={a|a≤﹣3，或a≥5}，CRB={a|﹣3＜a＜5}，∴A∩CRB={a|1≤a＜5}．

考点：抽象函数的性质；不等式的求解．