(Ⅰ)的最大值为;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求出当时,的解析式,求出对称轴,求得端点的函数值,可得的最大值;(Ⅱ)求出对称轴,讨论区间和对称轴的关系,结合单调性,可得最大值;(Ⅲ)要证恒成立,只需证,设的最小值为,最大值为,由(Ⅱ)得,求出对称轴,讨论对称轴和区间的关系,可得最值,即可证明.
试题解析:(Ⅰ)当a=b=2时,f(x)=8x2﹣4x,x∈[0,1].
对称轴为x=,f(0)=0,f(1)=4,
可得f(x)的最大值为4;
(Ⅱ)证明:f(x)的对称轴为x=,
当>1时,区间[0,1]为减区间,
可得f(x)的最大值为f(0)=b﹣a,
由b>4a>2a,可得|2a﹣b|+a=b﹣2a+a=b﹣a,
则f(0)=|2a﹣b|+a;
当<0时,区间[0,1]为增区间,
可得最大值为f(1)=3a﹣b,
由b<0,可得|2a﹣b|+a=2a﹣b+a=3a﹣b=f(1);
当0≤≤1时,区间[0,]为减区间,[,1]为增区间,
若f(0)≤f(1),即b≤2a,可得最大值为f(1)=3a﹣b=|2a﹣b|+a;
若f(0)>f(1),即2a<b≤4a,可得最大值为f(0)=b﹣a=|2a﹣b|+a.
综上可得函数f(x)的最大值|2a﹣b|+a;
(Ⅲ)证明:要证f(x)+|2a﹣b|+a≥0恒成立,
只需证f(x)min+|2a﹣b|+a≥0,
设f(x)的最小值为m,最大值为M,由(Ⅱ)得M=|2a﹣b|+a,
由f(x)的对称轴为x=,
当>1时,区间[0,1]为减区间,可得m=f(1)=3a﹣b,
则M+m=b﹣2a+a+3a﹣b=2a>0;
当<0时,区间[0,1]为增区间,可得m=f(0)=b﹣a,
M=f(1)=3a﹣b,则M+m=2a>0;
当0≤≤1时,区间[0,]为减区间,[,1]为增区间,
可得m=f()=,
若f(0)≤f(1),即b≤2a,可得M=f(1)=3a﹣b,
M+m=≥=a>0;
若f(0)>f(1),即2a<b≤4a,可得M=f(0)=b﹣a,
M+m==,
由于2a<b≤4a,可得M+m∈(a,2a],即为M+m>0.
综上可得M+m>0恒成立,即有f(x)+|2a﹣b|+a≥0.
考点:二次函数的图形与性质.